1课时数学教案：一元二次方程

一、素质教育目标 （一）知识教学点：培养学生运用一元二次方程解决增长率问题的能力。 （二）能力训练点：进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和解决问题的分析能力，培养学生具备数学思维意识。

二、教学重点、难点

教学重点：掌握利用一元二次方程解决增长率问题的方法。

教学难点：理解增长率之间的数量关系，以及增长、增长了、增长到与扩大、扩大到、扩大了等词语的异同。

三、教学步骤 （一）明确目标。 （二）整体感知。 （三）重点、难点的学习和目标完成过程

复习提问：

原产量+增产量=实际产量。

单位时间增产量=原产量×增长率。

实际产量=原产量×（1+增长率）。

示例1：

引导学生设平均每月的增长率为x。

学生通过设定方程求解，理解增长率的概念。

引导学生注意题目中的词语关系，如增长、增长了、增长到等。

练习：

学生*分析练习题目，完成板书和笔答，进行评价和讨论。

示例2：

学生通过设定方程求解，解决涉及连续降价的问题。

引导学生总结解题思路和技巧。

引导学生对比“增长”、“下降”的区别，理解增长与降价问题的数学模型。 （四）总结、扩展

强调将实际问题转化为数学问题的重要*，培养学生严格审题和布列方程的能力，以及数学意识和转化思维。

提醒学生在解方程时注意巧算和根的取舍问题。

引导学生意识到学习的局限*，只学习了一元一次方程、一元二次方程的解法，但可以应用规律解决更多年份的问题，激发学生对数学的探索和创造能力。 四、布置作业 教材P.42中A8 五、板书设计 12.6 一元二次方程应用（三）

数量关系： 示例1…… 示例2……

原产量+增产量=实际产量 分析…… 解……

单位时间增产量=原产量×增长率 解……

实际产量=原产量（1+增长率）

最后产值、基数、平均增长率、时间的基本关系： M=m（1+x）ⁿ，n为时间，M为最后产量，m为基数，x为平均增长率 数学教案－一元二次方程的应用（三）

数学教案－一元二次方程的应用（二）2

一、素质教育目标

（一）知识教学点

使学生熟练运用列一元二次方程的方法解决有关面积、体积方面的应用问题。

（二）能力训练点

进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。

培养学生的数学意识，使其理解数学在解决现实问题中的重要*。

二、教学重点、难点

1. 教学重点

列一元二次方程的方法，解决面积、体积方面的应用题。

2. 教学难点

找准等量关系。列一元二次方程解应用题时，应注意方程的解并不一定符合题意，因此求解后必须检验，以确定适合题意的解。例如，线段的长度不能为负，人的个数不能为分数等。

三、教学步骤

（一）明确目标

（二）整体感知

复习列方程解应用题的步骤，回顾长方形的周长、面积和长方体的体积公式。

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1. 例题讲解

例1：

现有长方形纸片一张，长 19 cm，宽 15 cm，需要剪去边长为 x cm 的小正方形才能做成底面积为 77 cm2 的无盖长方体型的纸盒。求小正方形的边长 x。

例2：

要做一个容积为 750 cm3，高为 6 cm，底面的长比宽多 5 cm 的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到 0.1 cm）？

2. 练习

练习 1：章节前引例

练习 2：教材第 42 页第 4 题

（四）总结、扩展

总结有关面积和体积的应用题分析方法和注意事项。

强调数学在解决实际问题中的重要*。

四、布置作业

教材第 42 页习题 A3、6、7

教材第 41 页第 3.4 题

五、板书设计

12.6 一元二次方程的应用（二）

例1：

...

例2：

...

数学教案－一元二次方程的应用（一）3

一、素质教育目标

知识教学点： 掌握列一元二次方程的方法，解决有关数与数字之间关系的应用题。

能力训练点： 通过应用题的练习，提升分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点、难点

教学重点：

列一元二次方程解有关数与数字之间关系的应用题。

教学难点：

根据数与数字的关系，确定方程中未知数的等量关系。

三、教学步骤

（一）明确目标

向学生明确本节课的学习目标。

（二）整体感知

引导学生复习列方程解应用问题的步骤。

介绍数与数字的关系表示方法。

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1. 复习提问

列方程解应用问题的步骤。

连续奇数（偶数）的表示方法。

2. 例题讲解

例1： 两个连续奇数的积是 323，求这两个数。

分析：引导学生分析题意，确定未知数的等量关系，列出方程。

解法：根据连续奇数的表示方法和积的关系，列出方程，求解未知数。

例2： 有一个两位数等于其数字之积的 3 倍，其十位数字比个位数字小 2，求这两位数。

分析：引导学生确定数与数字的关系，列出方程。

解法：根据两位数的表示方法和题目条件，列出方程，求解未知数。

3. 练习

学生练习解决类似的应用题。

引导学生比较不同的解题方法，选择最简便的方法。

（四）总结，扩展

总结本节课的重点知识和解题策略。

扩展数与数字的关系表示方法和应用场景。

强调方程在应用题中的用途和分析问题、解决问题的重要*。

四、布置作业

教材中指定习题。

数学教案－一元二次方程根与系数关系4

一元二次方程（一）

一、素质教育目标 （一）知识教学点：

帮助学生理解一元二次方程及整式方程的意义；

确保学生掌握一元二次方程的一般形式，并正确识别二次项系数、一次项系数以及常数项。

（二）能力训练点：

通过引入一元二次方程，培养学生分析问题和解决问题的能力；

通过学习一元二次方程的概念，培养学生对概念理解的完整*和深刻*。

二、教学重点、难点

教学重点：一元二次方程的意义及一般形式。

教学难点：正确识别一般式中的“项”和“系数”。

三、教学步骤 （一）明确目标

通过电脑演示以下*作：将一块长方形的薄钢片，在其四个角上各截去一个相同的小正方形，然后将四边折起，形成一个无盖的长方体盒子。演示完毕后，让学生实际*作一下所演示的过程，使用事先准备好的长方形纸片和剪*。学生的实际*作将为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力。

假设现有一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后制成底面积为1500cm²的无盖长方体盒子。学生将如何求出截去的小正方形的边长？通过引导学生设立未知数、列方程，经整理得到方程x² - 70x + 825 = 0。解这个方程将显示出当前所学知识的不足，需要学习新知识。学习了本章的知识后，学生将能解决上述问题。 在黑板上写下：“第十二章 一元二次方程”。教师用适当的语言激发学生的求知欲和学习兴趣。

（二）整体感知

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

复习提问： （1）什么是方程？你们之前学过哪些方程？ （2）什么是一元一次方程？“元”和“次”的含义是什么？ （3）什么是分式方程？ 通过提出这些问题并解决它们，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫。

引例：如果要从一个面积为150cm²的长方形铁片上剪下一个长比宽多5cm的长方形，应该如何剪？通过引导，启发学生设立未知数列方程，并经整理得到方程x² + 5x - 150 = 0。将此方程与章节前的引例所得方程x² + 70x + 825 = 0 进行观察和比较，从而得出整式方程和一元二次方程的概念： 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程。 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的。一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”。搞清楚“元”和“次”的概念将为理解一元三次方程等打下基础。一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的。这实际上是给出要判定方程是否为一元二次方程的步骤：首先进行合并同类项整理，然后按照定义进行判断。

练习：指出下列方程中哪些是一元二次方程？ （1）x(5x - 2) = x(x + 1) + 4x²； （2）7x² + 6 = 2x(3x + 1)； （3）

数学教案－一元二次方程实数根错例剖析课5

教学目标

精挑细选学生在解决一元二次方程相关问题时出现的典型错误示例，进行深入剖析。协助学生找出导致错误的原因和纠正错误的方法。通过该课程，旨在减少学生解题错误，培养学生批判*和深入思考的能力。

课前练习

1. 关于 x 的方程 ax² + bx + c = 0，当 a _____ 时，方程为一元一次方程；当 a _____ 时，方程为一元二次方程。

2. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的根判别式 Δ = _______，当 Δ _______ 时，方程有两个相等的实根，当 Δ _______ 时，方程有两个不相等的实根，当 Δ _______ 时，方程没有实根。

典型示例

例 1

下列方程中，两实根之和为 2 的方程是（）

(A) x² + 2x + 3 = 0    (B) x² - 2x + 3 = 0   (C) x² - 2x - 3 = 0     (D) x² + 2x + 3 = 0

错答： B

正解： C

错误分析： 根与系数的关系可知 x₁ + x₂ = 2，很容易误选 B，但考虑到方程存在实根，根据 Δ 可知，方程 B 没有实根，而方程 C 符合条件。

例 2

若关于 x 的方程 x² + 2(k + 2)x + k² = 0 两个实根之和大于 -4，则 k 的取值范围是（    ）

(A) k > -1    (B) k < 0   (C) -1 < k < 0   (D) -1 ≤ k < 0

错解： B

正解： D

错误分析： 遗漏了方程存在实根的前提是 Δ ≥ 0。

例 3（2000 年广西中考题）

已知关于 x 的一元二次方程 (1-2k)x² - 2x + k = 0，有两个实根 x₁ 和 x₂，且满足 x₁ - x₂ = 2。求 k 的值。

一元二次方程数学教案6

教学目标：

（1）理解一元二次方程的概念

（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程

教学重点：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

教学难点：因式分解法解一元二次方程

教学过程：

（一）创设情景，引入新课

实际例子引入：列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授

1：一元二次方程的概念。（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）

练习

2：一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0)

任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零

3：讲解例子

4：利用因式分解法解一元二次方程

5：讲解例子

6：一般步骤

练习

（三）小结

（四）布置作业

板书设计

数学教案：一元二次方程7

教学目标

1．了解整式方程和一元二次方程的概念；

2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，一元二次方程。

教学重点和难点：

重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：

1．教材分析：

1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析

理解一元二次方程的定义：

是一元二次方程的重要组成部分。方程，只有当时，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：

（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学目的

1.了解整式方程和一元二次方程的概念；

2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

教学难点和难点:重点:

1．一元二次方程的有关概念

2．会把一元二次方程化成一般形式

难点:一元二次方程的含义.

教学过程设计

一、引入新课

引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?

分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。

3．让学生自己列出方程(x（x十5）＝150)

深入引导：方程x(x十5)＝150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗？

二、新课

1．从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来，初中数学教案《一元二次方程》。事实上初中代数研究的主要对象是方程。这部分内容从初一一直贯穿到初三。到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)

2．什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程．(板书一元二次方程的定义)

3．强化一元二次方程的概念

下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?

(1)3x十2＝5x—3：

(2)x2＝4

(3)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；

(4)(x—1)(x—2)＝x2十8

从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。

4.一元二次方程概念的延伸

提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?

引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0)

1）．提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

2）．讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．

3）．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

强化概念（课本P6）

1．说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0

（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。

2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：

(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

课堂小节

(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）；

(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；

(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．

课外作业：略

《二次函数与一元二次方程》数学教案8

教学目标

一、教学知识点

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h交点的横坐标.

二、能力训练要求

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神

2、通过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.

3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.

三、情感与价值观要求

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨*以及数学结论的确定*.

2、具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.

2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h交点的横坐标.

教学难点

1、探索方程与函数之间的联系的过程.

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学方法

讨论探索法

教学过程：

1、设问题情境，引入新课

我们已学过一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的关系，你还记得吗？

它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.

现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.

2、新课讲解

例题讲解

我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么

（1）h与t的关系式是什么？

（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？

小组交流，然后发表自己的看法.

学生交流：（1）h与t的关系式是h=－5t2+v0t+h0，其中的v0

为40m/s，小球从地面抛起，所以h0=0.把v0,h0带入上式即可

求出h与t的关系式h=－5t2+40t

（2）小球落地时h为0，所以只要令h=－5t2+v0t+h0中的h=0求出t即可.也就是

－5t2+40t=0

t2－8t=0

∴t（t－8）=0

∴t=0或t=8

t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.

也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地.

议一议

二次函数①y=x2+2x②y=x2－2x+1③y=x2－2x+2的图像如下图所示

（1）每个图像与x轴有几个交点？

（2）一元二次方程x2+2x=0,x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下,一元二次方程x2－2x+2=0有根吗？

（3）二次函数的图像y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

学生讨论后，解答如下：

（1）二次函数①y=x2+2x②y=x2－2x+1③y=x2－2x+2的图像与x轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.

（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2；x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1；方程x2－2x+2=0没有实数根

（3）从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x轴有两个交点（0,0）,(-2,0)，方程x2+2x=0有两个根0，-2;

二次函数y=x2－2x+1的图像与x轴有一个交点(1,0),方程x2－2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1

二次函数y=x2－2x+2的图像与x轴没有交点,方程x2－2x+2=0没有实数根

由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

小结：

二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

基础练习

1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.

（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+4

2、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是

3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是.

4、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=.

5.已知抛物线y=-2(x+1)2+8①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.

6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（）

（a）a＜0b2-4ac≤0（b）a＜0b2-4ac＞0

（b）（c）a＞0b2-4ac＞0(d)a＜0b2-4ac＜0

想一想

在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是怎样知道的？

学生交流：在式子h=－5t2+v0t+h0中v0为40m/s，h0=0，h=60m，代入上式得

－5t2+40t=60

t2?8t+12=0

∴t=2或t=6

因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是60m.

小结：本节课学习了如下内容：

1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是a（x1，0），b（x2，0）

2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?

列一元二次方程解应用题数学教案9

一、教学目标

1、能分析应用题中的数量关系，并找出等量关系。

2、能用列一元二次方程的方法解应用题。

3、培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点

教学重点：能分析应用题中的数量间的关系，列出一元二次方程解应用题。

教学难点：例2涉及比例、平均增长率与多年的增长量之间的关系。

三、教学过程

（一）引入新课

设问：已知一个数是另一个数的2倍少3，它们的积是135，求这两个数。

（由学生自己设未知数，列出方程）。

问：所列方程是几元几次方程？由此引出课题。

（二）新课教学

1、对于上述问题，设其中一个数为x，则另一个数是2x—3，根据题意列出方程：